|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Basis rijruimte vinden
Hallo,
Ik heb na het lezen van de eerder gestelde vragen gevonden dat een buigpunt altijd op dat punt de tweede afgeleide 0 heeft en van teken wisselt. Dat snap ik, maar de enigste manier om dat te vinden die gegeven wordt is door de tweede afgeleide te schetsen of plotten. Kan je ook algabraisch kijken of een functie van teken wisselt in een punt? Ik heb iets gehoord over Hessiaan, maar ik heb geen idee hoe dit werkt, laat staan hoe ik het kan gebruiken. Heb je dat werkelijk nodig? Zo ja, hoe werkt het?
Hartelijk dank,
Marcus de Vries
Antwoord
Dag Marcus,
Om te zien of een functie van één variabele, in een nulpunt van teken wisselt, kan je het volgende criterium gebruiken. Let op, jij wil dit criterium dan wel toepassen op de tweede afgeleide van een gegeven functie.
Een functie f(x), waarvoor f(a)=0, verandert van teken in a als:
- f'(a) ¹ 0
- f'(a) = f''(a) = 0 en f(3)(a) ¹ 0 (dat laatste betekent de derde afgeleide)
- f'(a) = f''(a) = f(3)(a) = f(4)(a) = 0 en f(5)(a) ¹ 0
- enzovoort, dus als de n'de afgeleide de eerste is die verschilt van nul, dan moet n oneven zijn.
Dit kan je bewijzen door van f(x) de Taylorontwikkeling rond a te nemen, en dan de punten a+h en a-h in te vullen, voor een kleine positieve h. Als h klein genoeg is, domineert de eerste nietnulterm, en dan zie je dat je het gewenste resultaat krijgt.
De Hessiaan is een begrip dat uitsluitsel geeft over de aard van een extremum (minimum/maximum/zadelpunt) wanneer je werkt met functies van meerdere veranderlijken. Het criterium (tweede afgeleide is nul en wisselt van teken geeft een buigpunt) is een ééndimensionale vertaling van die Hessiaan.
Groeten,
Christophe.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
